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Nel 1872, appena ventitreenne, Felix Klein tiene all'Università di Erlangen una prolusione che passerà alla storia del pensiero matematico con il nome di “programma di Erlangen”.
Dopo anni di riflessione e di accumulo di conoscenze il pensiero geometrico si avviava verso una sua prima sistematizzazione e visione unitaria. Il termine “geometria” acquistava il significato di studio delle proprietà delle figure che risultano invarianti rispetto a un ben determinato gruppo di trasformazioni. Abbiamo, cioè, da una parte un insieme di elementi, lo spazio S e, dall'altra, un gruppo di trasformazioni dell'insieme S: le proprietà geometriche dei sottoinsiemi di S sono le proprietà invarianti rispetto al gruppo di trasformazioni considerato. Ne deriva che ciò che noi chiamiamo “proprietà” di una figura è semplicemente un invariante rispetto ad un insieme di trasformazioni dello spazio in cui la figura è immersa. É chiaro, quindi, che al variare del gruppo delle trasformazioni varia la geometria. Nasce, così, da questa semplice idea la possibilità di