DAS SCHÖPFERISCHE UND DAS SCHIZOID-FEHLERFREIE DENKEN, ERLÄUTERT AN JOHANN BOLYAIS MATHEMATISCHEN ABHANDLUNGEN

„Unter den Sätzen“ — so lesen wir bei Mach —, „auf welche Euklid sein System gründete, befand sich die sogenannte fünfte Forderung (auch als 11. Axiom bezeichnet): Zwei Gerade, die von einer dritten so geschnitten werden, daß die inneren an derselben Seite der Schneidenden liegenden Winkel zusammen kleiner sind als zwei Rechte, treffen genügend verlängert an eben dieser Seite zusammen. Es gelingt Euklid leicht zu zeigen, daß zwei Gerade, die mit einer dritten Schneidenden gleiche Wechselwinkel bilden, sich nicht treffen, parallel sind. Die Umkehrung aber, daß Parallelen mit jeder schneidenden Geraden gleiche Wechselwinkel bilden, muß er auf die fünfte Forderung stützen. Diese Umkehrung ist gleichbedeutend mit dem Satze, daß durch einen Punkt zu einer Geraden nur eine Parallele möglich ist. Da nun mit Hilfe dieser Umkehrung nachgewiesen wird, daß die Winkelsumme des Dreiecks zwei Rechte ist, und da aus letzterer Behauptung erstere wieder folgt, so ist hiemit der Zusammenhang der genannten Sätze deutlich gemacht, und die fundamentale Bedeutung der fünften Forderung für die euklidische Geometrie klargelegt.“

„Der Schnitt schwach konvergierender Geraden liegt außerhalb des Gebietes der Konstruktion und der Beobachtung. Es ist daher begreiflich, daß die durch Euklid an Strenge gewöhnten Nachfolger desselben, bei der Wichtigkeit der Aussage der fünften Forderung, schon in der antiken Zeit bemüht waren, diese Aussage zu beweisen … Von Euklid bis Gauss wurden zahlreiche erfolglose Versuche unternommen, den Inhalt der fünften Forderung aus den übrigen euklidischen Annahmen abzuleiten. Lediglich im reinen Trieb nach wissenschaftlicher Aufklärung suchten diese Menschen durch die Jahrhunderte nach der Erkenntnisquelle eines Satzes, an dessen Richtigkeit weder ein Theoretiker noch ein Praktiker bis auf den heutigen Tag wirklich ernstlich gezweifelt hat. Mit Spannung verfolgen wir die beharrlichen Äußerungen der ethischen Kraft des Wissenstriebes, und erfreut beobachten wir, wie d